Průkopníci informačního věku (3.): George Boole

Rozmach informačních technologií ve druhé polovině 20. století se neodvíjel jen od vývoje technologií, ale závisel i na pokroku v teoretických disciplínách, zejména v matematické logice. Žádný software se dnes neobejde bez logických kroků, bez operací s logickými proměnnými.

Průkopníci informačního věku (3.): George Boole


George Boole, zakladatel matematické logiky, vybudoval základy, na kterých stojí dnešní informatika. Aniž to mohl ve své době tušit, od jeho myšlenek vedla posléze cesta k teorii konečných automatů, k základům programování a umělé inteligenci.

Po celý středověk a novověk se logika, zpravidla s přívlastkem aristotelovská, těšila spíše zájmu filozofů než matematiků. I když se obsahem příliš nelišila od té současné, její doménou byla pouze slova. Náplň tohoto oboru spočívala ve zjišťování, zda slovní formulace výroků odpovídají klasickým schématům, jak je formuloval již starověký Aristoteles. Za radikální proměnou této filozofické disciplíny stál irský matematik, jenž v polovině 19. století založil obor matematické logiky. Jádrem jeho zjištění bylo, že v základním modelu logického uvažování lze vystačit se třemi operátory (and, or a not). S jejich pomocí pak dokázal z jednotlivých výroků sestavovat složitější formule stejným způsobem, jakým se v algebře sestavují matematické vzorečky.

George Boole se narodil irským rodičům v britském Lincolnu v roce 1815. Jeho otec měl malou ševcovskou dílnu a rodina žila ve velmi skromných poměrech v nejchudší dělnické čtvrti. Zákazníci, kteří do dílny přicházeli, na tom nebyli o nic lépe. Přesto se Georgův otec v něčem lišil. Zajímala ho matematika, a to nejen běžné kupecké počty, které potřeboval ke své práci. Protože okolí nemělo pro tento zvláštní zájem valné pochopení, učil matematiku alespoň svého syna, jenž nebyl rozhodně bez matematického nadání, jak se brzy ukázalo. A tak se stalo, že díky otcově zálibě se mladý George Boole nakonec vymanil z bídných poměrů. A co víc – že se stal jedním z nejproslulejších matematiků své doby.

Ne že by to byla snadná cesta, ale Boole, jako ostatně každý z velkých osobností vědy či umění, se vyznačoval neobyčejnou pílí. Když mu bylo osm let, povšiml si v otcově dílně nadaného chlapce učitel klasických jazyků. Slovo dalo slovo a zrodila se dohoda, že učitel za slevu bude chlapce učit latinu a řečtinu. Vzdělaný otcův zákazník mu tak v příštích letech poskytl nejen základy dvou klasických jazyků (životopisci uvádějí, že již ve dvanácti letech Boole překládal Ovidia a Vergilia), ale přivedl ho i do veřejné knihovny, kde si mohl snadno obstarat literaturu pro další studium. Jinými slovy, naučil ho, jak se může sám sebevzdělávat. Což byla vedle otcovy záliby pro matematiku druhá zásadní okolnost, která formovala jeho životní cestu. Neboť na rozdíl od jiných proslulých průkopníků informačního věku, například od Charlese Babbagea či Hermana Holleritha, neměl George Boole univerzitní vzdělání. Ke svým objevům se dostal pouze díky vlastnímu sebevzdělávání.

Aby mohl finančně pomoci rodičům, začal již v šestnácti letech vyučovat ve škole. O čtyři roky později si založil školu vlastní, ale tento projekt brzy kvůli nedostatku financí zkrachoval. Boole se přestěhoval do Waddingtonu, kde nadále učil na základní škole. Jak se jeho život v učitelském povolání stabilizoval, vrátil se ve volných chvílích opět k matematice. Studoval Pascalovy a Leibnitzovy matematické spisy a – pochopitelně – také Newtonovy knihy o mechanice a teorii světla. Pronikal do světa matematiky coby samouk, stejným způsobem, jakým si osvojil perfektní znalost latiny a řečtiny. Ve čtyřiadvaceti letech publikoval první článek v  časopise Cambridge Mathematical Journal, což mu získalo jistou reputaci. S editorem tohoto prestižního časopisu si pravidelně vyměňoval dopisy a později se z nich stali přátelé.

Další z jeho článků, nazvaný O obecné metodě v analýze (On a general method of analysis, 1844), se zabýval aplikací algebraických metod při diferenciálním počtu. Článek vzbudil nemalý ohlas a Boole za něj později získal zlatou medaili Královské společnosti za nejvýznamnější matematickou stať let 1841 až 1844. Tento úspěch byl o to pozoruhodnější, že Rada proslulé Královské společnosti chtěla článek nejprve odmítnout. Ale jeden z jejích členů na obhajobu Booleova článku řekl: „Skutečnost, že autor je neznámý a chudý, přece nemůže být důvodem pro zamítnutí jeho práce!“

 

Zrod moderní logiky

Když bylo Boolemu třicet let, měl už sice mezi matematiky určité jméno, ale stále ještě pracoval jako učitel v malé škole ve Waddingtonu. Ačkoli na základě svých matematických prací požádal o místo na irské Queen’s College v Corku, jak mu jeho přátelé doporučili, odpovědi se nedočkal. V té době se jeho pozornost čím dál více soustřeďovala na matematickou logiku. Tento zájem v něm probudil spor dvou významných představitelů matematické logiky, Williamem Hamiltonem a Augustem de Morganem. Boole jejich práce pečlivě prostudoval a na základě svých úvah vypracoval vlastní systém, který shrnul v knize Matematická analýza logiky (The Mathematical Analysis of Logic, 1847).

I když se jedná o práci napsanou ve spěchu, kniha přesto způsobila převrat v oboru logiky – od jejího vydání se totiž datuje počátek symbolické logiky v moderním smyslu. Co způsobilo tento převrat? V Booleově práci se matematika nesoustředí pouze na čísla a tvary, ale rozšiřuje oblast svého působení tím, že symboly interpretuje jako třídy či množiny objektů.

Kniha znamenala i změnu v Booleově životě. O dva roky později byl díky intervenci svých přátel, zvláště Augusta de Morgana, přijat Queen's College v Corku, kde se stal univerzitním profesorem matematiky. Odklad jeho žádosti a následné průtahy byly pochopitelné z toho důvodu, že Boole neměl vlastně žádné akademické vzdělání, pouze základní školu. Na druhé straně ale mohl svou erudici prokázat svými knihami a články, které začal uznávat celý matematický svět.

Začalo nové období jeho života, a to nejen kvůli profesnímu postupu. Krátce po přestěhování do irského Corku, přesněji řečeno Ballintemple, které je dnes součástí Corku, poznal na návštěvě u jednoho ze svých matematických přátel devat­enáctiletou Mary Everestovou, neteř sira Georgea Everesta, cestovatele a geografa, po němž je pojmenována nejvyšší hora světa. V roce 1855 si ji vzal za ženu.

V Ballintemple, kde pak George Boole žil až do své smrti, pokračovala jeho práce v oblasti matematické logiky. Napsal zde své nejvýznamnější dílo Výzkum základů myšlení, na kterých jsou založeny matematické teorie logiky a pravděpodobnosti (An investigation into the Laws of Thought, on Which are founded the Mathematical Theories of Logic and Probabilities, 1854), které se často zkráceně označuje jako Zkoumání zákonů myšlení.

 

Zákony myšlení

„V této práci jsem se pokusil prozkoumat základní zákony těch operací mysli, jimiž se vykonává myšlení, dát jim výraz v symbolickém jazyku kalkulu a na tomto podkladě založit vědeckou logiku a zkonstruovat její metodu,“ napsal George Boole v úvodu svého nejslavnějšího díla Zkoumání zákonů myšlení.

Boole v této knize formuloval základní východiska matematické logiky. Zaprvé – že logické výroky či věty lze vyjadřovat formou rovnic. Zadruhé – že se symboly vyskytujícími se v těchto rovnicích lze manipulovat podobně jako v algebře, která je spolehlivou metodou logické dedukce.

Exaktní přemýšlení se tak může odehrávat pomocí výpočtu, kde je logika redukována na algebru. Tato Booleovská algebra tvoří základ analýzy pravdivosti logických vět, neboť irský matematik si uvědomil, že logika je počítání na extrémně malé množině, obsahující jen dva prvky: pravda a lež (resp. jednička a nula). Z toho potom vyvodil poznatek, že i logické spojky a logické obraty, které se používají při operacích s logickými výroky, jsou vlastně početní příklady s těmito dvěma hodnotami. Ačkoli dvouhodnotový neboli binární charakter výroků, které mohou být buď pravdivé, anebo nepravdivé, nám dnes přijde jako naprostá samozřejmost, před sto padesáti lety tomu tak nebylo. Boole svými úvahami objevil nový druh matematiky, který se později ukázal jako ideálně vhodný pro manipulaci s informacemi v počítačích.

 

Osudové míjení

Ale to předbíháme, ostatně sám Boole o počítačích nevěděl zhola nic. Ani nemohl. I když o pokusech svého souputníka Charlese Babbagea slyšel. Jeden z matematikových životopisců dokonce uvádí, že se Boole v roce 1862 za Babbageem vypravil, aby si prohlédl Diferenční stoj. O návštěvě však není nic bližšího známo (je možné, že šlo o pouhý záměr a cesta se neuskutečnila) a jaký mohl být Booleův názor na Babbageovy výpočetní stroje, o tom se můžeme pouze dohadovat.

Co je však známo, je skutečnost, že Babbage, jenž se kolem roku 1820 sám snažil vyvinout jakýsi typ symbolické algebry, Booleovu práci velmi uznával. Do svého výtisku již zmíněné Booleovy knihy Matematická analýza logiky si poznamenal: „Toto je dílo skutečného myslitele.“

Pokud se tedy Boole s Babbageem opavdu setkali, nevzešlo ze setkání tak jako tak nic, co by vývoj výpočetní technologie jakkoli posunulo dopředu. Na svou dobu pokročilý hardware Babbageových strojů se bohužel nijak nepropojil se softwarem. Šlo o promarněnou šanci? Z jakéhosi idealistického pohledu možná ano, ale historie ukazuje, že vývoj, ať již v technologii či jakékoli jiné oblasti, neprobíhá vždy tak, jak bychom si ze zpětného pohledu mohli snad přát.

Ale zpět k Georgu Booleovi. Léta na univerzitě byla pro zakladatele moderní logiky nejúspěšnějším obdobím. Vedle zásadní práce věnované zákonům myšlení publikoval řadu článků v matematických časopisech a dvě knihy zabývající se diferenciálním počtem. V roce 1857 byl zvolen členem Královské společnosti a v následujících letech získal čestné doktoráty od univerzit v Dublinu a Oxfordu, které údajně přijal se značnými rozpaky. Zemřel nečekaně na zápal plic, v pouhých devětačtyřiceti letech.

 

Význam Booleovy logiky

Ačkoli bylo Booleovo dílo uznáváno, po dlouhá desetiletí šlo jen o abstraktní hříčku zmatematizovaných logiků. Skutečný význam jeho zakladatelské práce zůstával skryt. První, kdo si vztahu povšiml, byl údajně americký logik a filozof Charles Pierce. Ten krátce po Booleově smrti v roce 1867 napsal, že jeho logika by se mohla uplatnit při popisu některých fyzikálních jevů souvisejících s elektrickým obvodem, ale jeho článek zapadl. Určitou kuriozitou, jež naznačovala správnou cestu, byl mechanický stroj Williama Jevonse. Tento britský učenec proslul především jako ekonom, zabýval se však i matematickou logikou. Jeho „logické piano“ provádělo logické operace na bázi Booleovy algebry, ale vynálezce zvolil algebru čtyřprvkovou, aniž by tušil, že praktičtější využití bude nakonec mít právě ta nejjednodušší verze – dvouprvková Booleova algebra.

Až v době, kdy začala vznikat koncepce elektronického počítače, se ukázala hodnota Booleových zjištění. Přesně o sedmdesát let poté, co vyšel Pierceův zapomenutý článek, obhájil mladý americký vědec Claude Shannon diplomovou práci, v níž popsal, jak se dá Booleova algebra využít při konstrukci složitých sítí přepínačů neboli relé. Uvědomil si totiž, že právě relé mohou nabývat dvě hodnoty, zapnuto a vypnuto, přičemž jejich propojení je obdobou aritmetické operace s nimi. Shannon na základě Boolovy algebry položil základy teorie konečných obvodů, jeden ze základních kamenů moderní informatiky.

Shannon dokázal, že stejně jako při analýze logických struktur lze prostřednictvím Booleovy algebry reprezentovat obvod a jeho fungování. Spínače a obvody je možné si představit jako vrátka, která se otevírají a zavírají v reakci na různé úseky dat podle jednoduché logiky (odtud název logická hradla, logical gates). Propojením logických hradel tak, že výstup jedněch ovládá vstup jiných, lze pak provádět i značně komplikované výpočty. To dokázali američtí inženýři, George Stibitz a Samuel Williams, kteří v Bellových laboratořích poprvé zkonstruovali logická hradla, jejichž uspořádání umožňovalo početní operace s binárními čísly.

Nezávisle na Shannonovi si však význam Booleových objevů uvědomili i John Atanasoff, pracující na Iowa State College, jemuž byl o řadu let později přiznán patent na elektronický počítač. A také německý inženýr Konrad Zuse, který se před Druhou světovou válkou v Berlíně snažil zkonstruovat mechanický výpočetní stroj. Aby se vyhnul složitostem, s nimiž se potýkal Babbage, začal používat dvojkovou soustavu. Na tomto základě vyvinul poměrně jednoduchý, ale zcela funkční mechanický kalkulátor Z1, po kterém následovaly pokročilejší elektromechanické varianty. Ale to už je jiný příběh.

 

Teorie konečných automatů

Na základě Booleovy logiky nastínil Claudie Shannon teoretický výpočetní model, který označujeme jako konečný automat. S praktickou aplikací konečného automatu se každý z nás setkal, třebaže to není na první pohled zcela patrné. Ve skutečnosti je tento model použit při řízení činnosti automatu na kávu, automaticky otvíraných dveří nebo světelné křižovatky, což jsou pouze některé příklady využití tohoto matematického nástroje.

Konečný automat je abstraktní model, který lze využít pro modelování systémů, u nichž lze stanovit konečný počet stavů a vstupních podnětů. Aktuální stav takovéhoto systému se mění pouze na základě vnějšího podnětu, přičemž platí, že pro daný stav a daný podnět je určeno, do kterého stavu systém přejde. Konečný automat rovněž pracuje v diskrétním čase.

Konečné automaty se dělí do několika skupin podle zvoleného kritéria: na deterministické a nedeterministické, další členění může být na konečné automaty bez výstupu nebo konečné automaty s výstupem.

Matematický popis teorie automatů uvádí příslušná literatura, např. M. Demlová, V. Koubek: Algebraická teorie automatů (Praha: SNTL, 1990).





Komentáře